Une initiation aux inégalités de Sobolev logarithmiques (Broché)

Le but de ce cours est d'illustrer l'usage des inégalités de Sobolev logarithmiques en les appliquant à l'ergodicité des systèmes de spins en faible interaction. Ce modèle a été inspiré par les modèles bien moins simples de la théorie des champs pour lesquels E. Nelson a introduit les propriétés d'hypercontractivité qui ont été développées par L. Gross à l'aide de la notion d'inégalité de Sobolev logarithmique. La considération de systèmes de spins réels conduit à des difficultés techniques supplémentaires par rapport au cas des spins bornés, mais permet souvent d'utiliser des outils mathématiques plus familiers et plus variés. On n'aborde qu'un aspect limité du vaste domaine des mesures de Gibbs, bien qu'il soit un important développement, dû à B. Zegarlinski, d'une des idées fondamentales de R.L. Dobrushin. En chemin, on introduit la plupart des notions de base qui seront utiles sur les opérateurs autoadjoints, les processus de diffusions, les mesures de Gibbs. Des compléments et des exercices permettent d'élargir le domaine traité.